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黒川教授がこの8月に出版された本:

ラマヌジャンζの衝撃 (双書―大数学者の数学)

ラマヌジャンζの衝撃 (双書―大数学者の数学)

  • 作者: 黒川信重
  • 出版社/メーカー: 現代数学社
  • 発売日: 2015/08
  • メディア: 単行本
  • この商品を含むブログを見る
 

から、 (sum_{n=1}^{infty }{frac{sigma_{a}left(n ight)}{n^{s}}}=zetaleft(s ight),zetaleft(s-a ight) ) の証明を、Maximaを使って検証します。

最初に読み込むファイルNumberTheoryAdditions.macには数論関係の幾つかの便利な関数が定義されています。 ここではpproduct(exp,var,max)とそのtexput()を使っています。

またsimplify_sum()も使うため、読み込んでおきます。

(%i1) load("NumberTheoryAdditions.mac")$
(%i2) load(simplify_sum)$

証明したいのは以下の式(%o3)です。

(%i3) sum(divsum(n,a)/n^s,n,1,inf)=zeta(s)*zeta(s-a);
$$ ag{%o3} sum_{n=1}^{infty }{frac{sigma_{a}left(n ight)}{n^{s}}}=zetaleft(s ight),zetaleft(s-a ight) $$ 

まずはディリクレ級数のオイラー積の復習です(係数a[n]の乗法性を仮定)。
(%i4) sum(a[n]/n^s,n,1,inf)=pproduct(sum(a[p^k]/p^(s*k),k,0,inf),p,inf);
$$ ag{%o4} sum_{n=1}^{infty }{frac{a_{n}}{n^{s}}}=prod_{p}sum_{k=0}^{infty }{frac{{a}_{p^{k}}}{p^{k,s}}} $$

今回はこのa[n]がnの約数のk乗和の場合を扱います(以下k乗ではなくa乗でいきます)。
(%i5) f0:%,a[n]:=divsum(n,a);
$$ ag{%o5} sum_{n=1}^{infty }{frac{sigma_{a}left(n ight)}{n^{s}}}=prod_{p}sum_{k=0}^{infty }{frac{sigma_{a}left(p^{k} ight)}{p^{k,s}}} $$

 

式変形を見通しよく行うために、まず以下の式をMaximaコマンドで変形していくことにします。
(%i6) f1:sum(divsum(p^k,a)*u^k,k,0,inf);
$$ ag{%o6} sum_{k=0}^{infty }{sigma_{a}left(p^{k} ight),u^{k}} $$

pが素数なので以下の式変形が可能になります。
(%i7) df:divsum(p^k,a)=sum(p^(a*j),j,0,k);
$$ ag{%o7} sigma_{a}left(p^{k} ight)=sum_{j=0}^{k}{p^{a,j}} $$

この結果を(%o6)に代入します。
(%i8) f1,df;
$$ ag{%o8} sum_{k=0}^{infty }{left(sum_{j=0}^{k}{p^{a,j}} ight),u^{k}} $$

内側のsum()を等比級数の和の公式で計算します。「ζの衝撃」では( p^{a}=1 )で等比級数の和にならない場合も扱っていますが、ここでは省略します。
(%i9) simplify_sum(%);
$$ ag{%o9} sum_{k=0}^{infty }{frac{left(p^{a,left(1+k ight)}-1 ight),u^{k}}{p^{a}-1}} $$
(%i10) f2:expand(%);
$$ ag{%o10} sum_{k=0}^{infty }{left(frac{p^{a+a,k},u^{k}}{p^{a}-1}-frac{u^{k}}{p^{a}-1} ight)} $$

1つのsum()を2つのsum()に分けます。絶対収束が成り立てばこの式変形は可能です。
(%i11) f3:sum(part(f2,1,1),k,0,inf)+sum(part(f2,1,2),k,0,inf);
$$ ag{%o11} frac{sum_{k=0}^{infty }{p^{a+a,k},u^{k}}}{p^{a}-1}-frac{sum_{k=0}^{infty }{u^{k}}}{p^{a}-1} $$

これらのsum()は収束のための幾つかの仮定をおけば、等比級数の和公式を使って計算することができます。
(%i12) assume(abs(p^a)*abs(u)<1);
$$ ag{%o12} left[ left| p^{a} ight| ,left| u ight| <1 ight] $$
(%i13) assume(abs(u)<1);
$$ ag{%o13} left[ left| u ight| <1 ight] $$
(%i14) simplify_sum(f3);
$$ ag{%o14} frac{p^{a}}{left(p^{a}-1 ight),left(1-p^{a},u ight)}-frac{1}{left(p^{a}-1 ight),left(1-u ight)} $$

整理します。
(%i15) factor(%);
$$ ag{%o15} frac{1}{left(u-1 ight),left(p^{a},u-1 ight)} $$
(%i16) f1=%;
$$ ag{%o16} sum_{k=0}^{infty }{sigma_{a}left(p^{k} ight),u^{k}}=frac{1}{left(u-1 ight),left(p^{a},u-1 ight)} $$

これで(%o6)の式について上記の式変形が可能であることがわかりました。両辺に( u=p^{-s} )を代入してみます。
(%i17) %,u=p^(-s);
$$ ag{%o17} sum_{k=0}^{infty }{frac{sigma_{a}left(p^{k} ight)}{p^{k,s}}}=frac{1}{left(p^{a-s}-1 ight),left(frac{1}{p^{s}}-1 ight)} $$

この結果を(%o5)に代入します。
(%i18) f0,%;
$$ ag{%o18} sum_{n=1}^{infty }{frac{sigma_{a}left(n ight)}{n^{s}}}=prod_{p}frac{1}{left(p^{a-s}-1 ight),left(frac{1}{p^{s}}-1 ight)} $$

この最後の式の右辺は( zetaleft(s ight) )及び( zetaleft(s-a ight) )のオイラー積の積になっています。